Trọng tâm là gì?
Trong hình học phẳng, trọng tâm là một khái niệm quen thuộc mà học sinh thường gặp trong chương trình Toán lớp 8. Tuy nhiên, không phải ai cũng hiểu rõ bản chất của trọng tâm, cách xác định cũng như công thức tính tọa độ trọng tâm khi biểu diễn trên mặt phẳng Oxy.
Bài viết này sẽ giúp bạn nắm chắc kiến thức nền tảng về trọng tâm là gì, cách xác định trọng tâm tam giác, công thức tọa độ trọng tâm, kèm theo các bài tập minh họa dễ hiểu nhất.
Trong hình học phẳng, trọng tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường trung tuyến.
Mỗi đường trung tuyến là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện.
Trọng tâm thường được ký hiệu là G, và có những tính chất nổi bật sau:
Trọng tâm luôn nằm bên trong tam giác, dù tam giác đó nhọn, tù hay vuông.
Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần có tỷ lệ 2:1 (phần gần đỉnh dài gấp đôi phần còn lại).
Khi biết tọa độ ba đỉnh của tam giác, ta có thể xác định chính xác tọa độ trọng tâm bằng công thức tính trung bình cộng của các tọa độ.
Hiểu một cách đơn giản, trọng tâm chính là “ điểm cân bằng” của tam giác. Nếu làm bằng vật liệu đều, trọng tâm chính là điểm mà tam giác có thể cân bằng trên đầu nhọn của một chiếc bút.
ý nghĩa của trọng tâmCó hai cách phổ biến để xác định trọng tâm: bằng hình học và bằng tọa độ.
Cách xác định trọng tâm bằng hình học
Giả sử có tam giác ABC, ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Xác định trung điểm của một cạnh, ví dụ M là trung điểm của cạnh BC.
Bước 2: Nối đỉnh đối diện (A) với trung điểm M. Khi đó AM là đường trung tuyến thứ nhất.
Bước 3: Làm tương tự với cạnh khác, ví dụ N là trung điểm của cạnh AC, nối B với N để có trung tuyến thứ hai.
Bước 4: Hai đường trung tuyến AM và BN sẽ cắt nhau tại một điểm. Gọi điểm đó là G – trọng tâm của tam giác.
Điểm G chia trung tuyến theo tỷ lệ:
AG : GM=2 : 1
Nếu vẽ trung tuyến thứ ba từ đỉnh C, bạn sẽ thấy nó cũng đi qua điểm G. Đây là đặc trưng của trọng tâm – điểm duy nhất nằm trên cả ba trung tuyến của tam giác.
Cách xác định trọng tâm bằng tọa độ trong mặt phẳng Oxy
Giả sử tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là:
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3).
Công thức tính tọa độ trọng tâm G(xG, yG) là:
xG=(x1 + x2 + x3) / 3
yG=(y1 + y2 + y3) / 3
Công thức này cho ta tọa độ trung bình cộng của ba đỉnh tam giác, vì trọng tâm là “ điểm trung bình” của toàn bộ hình.
Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC có A(3, 2), B(6, 8), C(9, 2).
Ta có:
xG=(3 + 6 + 9) / 3=6
yG=(2 + 8 + 2) / 3=4
Vậy tọa độ trọng tâm G là G(6, 4).
Ví dụ 2:
Tam giác ABC có tọa độ A(2, 1), B(5, 4), C(8, 1).
xG=(2 + 5 + 8) / 3=5
yG=(1 + 4 + 1) / 3=2
Vậy G(5, 2).
Công thức tọa độ trọng tâm trong mặt phẳng Oxy
Công thức tổng quát để tính tọa độ trọng tâm của tam giác là:
xG=(x1 + x2 + x3) / 3
yG=(y1 + y2 + y3) / 3
Công thức này không chỉ áp dụng cho tam giác mà còn dùng để xác định “ trung tâm khối lượng” trong các bài toán vật lý hoặc kỹ thuật.
Nếu xét trong không gian ba chiều (Oxyz), công thức mở rộng như sau:
xG=(x1 + x2 + x3) / 3
yG=(y1 + y2 + y3) / 3
zG=(z1 + z2 + z3) / 3
Điều này có nghĩa là trọng tâm trong không gian 3D là điểm trung bình cộng của tọa độ ba đỉnh.
Ví dụ về trọng tâm trong đời sống và ứng dụng thực tếTrọng tâm chia đường trung tuyến theo tỷ lệ 2:1
Nếu M là trung điểm của cạnh BC, thì G nằm trên AM sao cho AG=2 × GM.
Trọng tâm nằm bên trong tam giác
Không phụ thuộc vào loại tam giác (nhọn, tù, vuông), trọng tâm luôn nằm trong tam giác.
Ba đường trung tuyến đồng quy tại trọng tâm
Dù chỉ cần hai trung tuyến là đủ để xác định trọng tâm, nhưng thực tế cả ba luôn cắt nhau tại cùng một điểm.
Trọng tâm chia tam giác thành ba phần có diện tích bằng nhau
Nếu nối trọng tâm G với ba đỉnh A, B, C thì ta được ba tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.
Một số bài tập minh họa về trọng tâm
Bài 1:
Cho tam giác ABC có A(1, 2), B(4, 6), C(7, 2).
Tính tọa độ trọng tâm G.
Giải
xG=(1 + 4 + 7) / 3=4
yG=(2 + 6 + 2) / 3=10 / 3 ≈ 3.33
→ G(4, 3.33).
Bài 2:
Tam giác ABC có A(0, 0), B(6, 0), C(3, 9).
Tính tọa độ trọng tâm G.
Giải:
xG=(0 + 6 + 3) / 3=3
yG=(0 + 0 + 9) / 3=3
→ G(3, 3).
Bài 3:
Một tam giác có các cạnh bằng nhau a=6 cm, các trung tuyến bằng nhau m=5, 2 cm.
Tính đoạn AG và GM.
Giải:
Theo tính chất trọng tâm:
AG : GM=2 : 1
Tổng trung tuyến AM=5, 2 cm.
Suy ra AG=(2/3) × 5, 2=3, 47 cm
GM=(1/3) × 5, 2=1, 73 cm.
Bài 4:
Chứng minh rằng trọng tâm chia tam giác thành ba phần có diện tích bằng nhau.
Giải:
Trọng tâm G nằm trên ba trung tuyến. Mỗi trung tuyến chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khi nối G với ba đỉnh, ta được ba tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau. Điều này có thể chứng minh bằng cách sử dụng công thức diện tích S=1/2 × đáy × chiều cao và tính toán theo tỷ lệ đường trung tuyến.
Tại sao trọng tâm lại quan trọng trongKhông chỉ là kiến thức trong sách giáo khoa, trọng tâm còn có nhiều ứng dụng thực tế trong đời sống:
Trong vật lý: Trọng tâm là điểm đặt của trọng lực tác dụng lên vật. Nó quyết định sự cân bằng của vật thể. Ví dụ, xe ô tô cần có trọng tâm thấp để tránh bị lật khi vào cua.
Trong kỹ thuật: Trọng tâm giúp tính toán kết cấu, cân bằng tải trọng trong thiết kế cầu, nhà, robot, tàu thuyền…
Trong thể thao: Hiểu về trọng tâm giúp vận động viên giữ thăng bằng tốt hơn, ví dụ như người tập yoga, đấu vật hay trượt ván.
Trong đồ họa – thiết kế: Các phần mềm mô phỏng vật lý thường dùng công thức trọng tâm để tính toán chuyển động chính xác của vật thể.
Một số lưu ý khi làm bài về trọng tâm
Khi tính trọng tâm bằng công thức tọa độ, cần viết chính xác dấu ngoặc và thứ tự các đỉnh.
Nếu tam giác có đỉnh trùng hoặc sai vị trí, kết quả trọng tâm sẽ sai.
Nên vẽ hình minh họa để dễ hình dung vị trí trọng tâm trong tam giác.
Khi làm bài nâng cao, hãy kết hợp định lý Pytago hoặc diện tích tam giác để chứng minh các tính chất của trọng tâm.
Tổng kết kiến thức trọng tâm
Trọng tâm là một điểm đặc biệt của tam giác, có ý nghĩa cả trong hình học lẫn thực tế.
Ghi nhớ công thức cơ bản:
xG=(x1 + x2 + x3) / 3
yG=(y1 + y2 + y3) / 3
Hiểu rõ cách xác định trọng tâm giúp bạn giải nhanh các bài toán hình học, đồng thời mở rộng kiến thức khi học vật lý hoặc các môn kỹ thuật sau này.
Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để ghi nhớ sâu công thức và rèn tư duy không gian tốt hơn.